Куравлев родился 8 октября 1936 года в Москве. Он рано потерял отца, а в 1941 году мать Леонида по ложному обвинению выслали на Север, где они прожили несколько лет, пока не вернулись в Москву.
Куравлев окончил актерское отделение Всесоюзного государственного института кинематографии (мастерская Бориса Бибикова) и был принят в Театр-студию киноактера. В кино Леонид Куравлев дебютировал еще студентом — сыграл в фильме Михаила Швейцера "Мичман Панин" и в дипломной работе Василия Шукшина "Из Лебяжьего сообщают".
В 1960-е на экраны вышли две картины Василия Шукшина с участием Леонида Куравлева ("Живет такой парень" и "Ваш сын и брат"), фильм режиссера Константина Ершова "Вий", а также комедия Михаила Швейцера "Золотой теленок" с неподражаемым Шурой Балагановым.
Последние несколько лет, после смерти в 2013 году жены Нины, с которой они прожили вместе долгую жизнь (они познакомились на катке, когда Куравлеву было 16 лет), он стал практически затворником. У актера двое детей и трое внуков.